Фамилия Друзькин образована от прозвища или нецерковного имени Друзька — уменьшительной формы от слова «друг». В древнерусском языке «другъ» означало не только товарища, но и близкого человека, соратника, а в некоторых говорах — даже мужа или жениха. Суффикс -к- в основе (Друзьк-) указывает на ласкательное или уменьшительное значение: Друзька — «маленький друг» или «любимый друг». Фамилии на -ин традиционно образовывались от основ на -а/-я: Друзька → Друзькин, то есть «чей?» — сын, потомок Друзьки.

Интересно, что модель Друзькин не самая частая. Гораздо больше распространена фамилия Дружкин — от той же основы «друг», но с суффиксом -к- без смягчения. Смягчение «г» в «зь» (Друзька) характерно для северо-западных и некоторых южнорусских говоров, где звук [г] мог переходить в мягкий [з’] перед суффиксом -к-. Поэтому Друзькин — скорее всего, фамилия с региональным оттенком, указывающая на происхождение предка из мест, где существовала такая произносительная традиция.

Встречается и версия, что основа могла быть связана с именем Дружина (в древности — «дружинник», «воин»), но это менее вероятно: от Дружины образовалась бы фамилия Дружинин, а Друзькин — более прямая и просторечная форма от «друг». Также не стоит путать фамилию с редким именем Друзь, которое могло быть прозвищем для верного, преданного человека.

Таким образом, Друзькин — фамилия, которая прямо говорит о характере или отношении к человеку: предок носителя был известен как «дружок», «приятель», возможно, в положительном смысле — верный товарищ. Суффикс -ин и мягкая основа выдают её народное, бытовое происхождение, без книжных или церковных корней.