Фамилия Дышаев образована от прозвища Дышай. В старину так могли назвать человека по двум разным причинам. Первая — очевидная: проблемы с дыханием, одышка, слабые лёгкие. Вторая — насмешливая: прозвище Дышай давали ленивому человеку, который любил отдыхать, «дышать» без дела. То есть прозвище могло указывать как на особенности здоровья предка, так и на его характер — неторопливый, медлительный, склонный к праздности.

Словообразовательная модель проста: к основе прозвища Дышай добавили типичный русский фамильный суффикс -ев (после гласной «а» в основе). Фамилии на -ев образуются от основ, оканчивающихся на мягкий согласный или на гласный, и по распространённости уступают только фамилиям на -ов. По такой же модели возникли, например, фамилии Дышаев, Дышаков — все они восходят к тому же корню «дыш-», связанному с дыханием.

География фамилии Дышаев не широкая, но устойчивая. Чаще всего она встречается в Поволжье — в Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской и Самарской областях. Это может указывать на то, что прозвище Дышай бытовало в среде местных русских, возможно, с примесью тюркского влияния на говор, хотя сама основа — славянская, от глагола «дышать».

Споров вокруг происхождения фамилии почти нет: версия с прозвищем от «дышать» — основная и самая правдоподобная. Альтернативные гипотезы, например, связь с диалектным «дыша» (неряха) или с тюркским личным именем, не имеют серьёзной опоры в источниках и не подтверждаются словарями русских фамилий.