Фамилия Ефремава — один из тех случаев, когда написание сразу бросается в глаза и задаёт направление разбора. Окончание -ава вместо привычного -ова указывает, что перед нами не стандартная русская форма, а белорусская или, реже, южнорусская модель образования фамилий. В белорусском языке суффикс -аў (на письме -ов) в женском роде даёт -ава, а не -ова. То есть Ефремава — это женская форма фамилии Ефремаў (по-русски Ефремов). Мужской вариант, скорее всего, выглядел как Ефремаў или Ефремов, но в быту закрепилась именно женская запись — такое нередко случалось при переписи населения или в документах, где фиксировали женщину как главу семьи (например, вдову).

Основа фамилии — каноническое церковное имя Ефрем. Оно древнееврейского происхождения и означает «плодовитый», «удвоенный». Имя было распространено у славян, особенно после крещения Руси, и давалось в честь преподобного Ефрема Сирина, христианского богослова и поэта IV века. От этого имени образовалось множество фамилий: Ефремов, Ефремычев, Ефремкин, а также Ефремава — через добавление суффикса принадлежности, указывающего на сына или потомка человека по имени Ефрем.

Географически фамилия Ефремава (в таком написании) чаще всего встречается в Беларуси и на границе с Россией, в Смоленской и Брянской областях, где сильны белорусские диалектные влияния. Встречается и у белорусских переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке, куда они переезжали в конце XIX — начале XX века. Если ваш предок носил именно такую фамилию, велика вероятность, что он происходил из крестьянской или мещанской среды, где фамилии закрепились поздно, а их написание долго оставалось неустойчивым.

Любопытная деталь: в русских говорах иногда встречается вариант Ефремов, а Ефремава могло возникнуть и как просторечная форма от Ефремова — в устной речи окончание -ова часто редуцировалось до -ава, а потом так и записывалось. Но всё же основная версия — белорусское происхождение, что подтверждается характерным для той языковой зоны суффиксом.