Фамилия Елеськина образована от имени Елеська — народной, разговорной формы канонического имени Елисей. Имя это древнееврейского происхождения, в переводе с греческого его часто трактуют как «желанный», «чудесный» или «красивый». В библейской традиции пророк Елисей известен как ученик и преемник Илии: он совершил множество чудес — от рассечения вод Иордана до воскрешения сына гостеприимной вдовы. Проповедовал он более шестидесяти лет при шести израильских царях, не боясь обличать их нечестивость.

Фамилия закрепилась по типичной для русской ономастики модели: к основе имени Елеська добавили суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Елеськи). Форма с окончанием -а (Елеськина) стоит в женском роде, но в быту так могли записать всю семью, если речь шла о женщине — главе двора или вдове.

Судя по способу образования — без дворянского суффикса -ский и без отчества на -ович, — носители фамилии относились к простому сословию: крестьянам или посадским людям. В писцовых книгах и ревизских сказках такие фамилии фиксировались редко, но именно они лучше всего сохраняют живую народную речь. Таким образом, потомок человека по имени Елеська со временем получил фамилию Елеськина — и в ней, несмотря на бытовое звучание, слышна отсылка к одному из самых почитаемых ветхозаветных пророков.