Фамилия Елыгин образована по стандартной для русских фамилий модели: к основе добавляется суффикс -ин, который указывает на принадлежность. В данном случае это означает «чей?» — «сын Елыги». Основа, в свою очередь, происходит от прозвища или неканонического имени Елыга. Именно в этом слове — ключ к происхождению фамилии, и оно заслуживает отдельного разбора.

Слово «елыга» в русских говорах, особенно северных и уральских, имеет несколько значений. Самое распространенное — неповоротливый, неуклюжий человек, увалень. В словаре Владимира Даля «елыга» — это «лентяй, шатун, дармоед». Вторая группа значений связана с речью: болтун, пустомеля, человек, который говорит невпопад или врет. Таким образом, прозвище Елыга давали либо медлительному и ленивому, либо болтливому и несерьёзному человеку. В древней Руси такие бытовые имена не несли оскорбительного смысла — они были описательными, как Некрас, Нелюб или Молчан.

Существует и менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркскими языками. В ряде тюркских наречий «елыга» или близкие формы означают «ветер» или «вихрь». Если это так, то прозвище могло достаться быстрому, порывистому человеку. Однако эта гипотеза слабее: во-первых, фамилия встречается преимущественно в русских регионах (Вологодская, Архангельская области, Удмуртия), где тюркское влияние не было определяющим. Во-вторых, семантика «ветра» редко ложится в основу прозвищ, тогда как бытовая характеристика человека — обычное дело.

География фамилии подтверждает её северно-русское происхождение. Елыгины — нередкая фамилия в Вологодской области, особенно в Кирилловском и Вожегодском районах. Там же фиксируются и однокоренные фамилии: Елыгин, Елышев, Елькин. Скорее всего, предки носителей фамилии были крестьянами или посадскими людьми, а сама фамилия закрепилась в XV–XVII веках, когда на Руси активно шёл процесс перехода от прозвищ к наследственным родовым именам.

В написании фамилии стоит обратить внимание на безударную гласную «ы» в корне. Ошибки вроде «Елегин» или «Илыгин» встречаются часто, но этимологически верное написание — через «ы», поскольку именно так звучит корень в диалектах.