Фамилия Еничева образована от именования Енич, которое, предположительно, является отчеством от имени Еник. Имя Еник в свою очередь, является краткой формой канонического мужского имени Евникиан, которое в переводе с греческого языка означает «добропорядочный». Одним из покровителей этого имени считается мученик Евникиан Критский. Вероятно, основатель рода Еничевых был человеком из простого сословия. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Еник, со временем получил фамилию Еничев.