Фамилия Ергуноы — довольно редкий случай, где написание подсказывает историю. Форма с двумя «о» в окончании (не «Ергунов», а «Ергуноы») — это не опечатка, а, скорее всего, искажение при записи или сознательная адаптация фамилии в XIX — начале XX века. В русской ономастике суффикс «-ов» — самый распространённый патронимический показатель, а окончание «-ы» характерно для фамилий северных и сибирских говоров, особенно в форме множественного числа (типа «Ергуновы»). Со временем «Ергуновы» могло сократиться до «Ергуноы» — редкий, но встречающийся графический вариант, когда «в» выпало, а падежное окончание осталось.

Основа фамилии — «Ергун». Это прозвище или неканоническое имя, образованное от глагола «ергать» (или «ерзать») — ёрзать, вертеться, быть непоседливым. В северных и уральских говорах «ергун» — человек, который постоянно крутится, суетится, не сидит на месте. Такое прозвище могли дать живому, подвижному ребёнку или взрослому с беспокойным характером. Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «ерга» — вид лодки или снасти; в таком случае прозвище относилось к рыбаку или лодочнику.

Фамилия могла возникнуть в среде государственных или дворцовых крестьян Русского Севера, Приуралья или Сибири — именно там фиксируются говоры с «ергать» и форма «-ы» в фамилиях. Сословно это, скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия, без дворянских корней.

Сравните с однокоренными: Ергунов (стандартная форма, встречается чаще), Ергулёв, Ергаков. Все они восходят к тому же корню «ерг-» со значением движения или непоседливости. Если ваша фамилия пишется именно «Ергуноы», вы носите редкий орфографический артефакт — след того, как в документах закрепилась местная произносительная норма, а не книжное правило.