Фамилия Евсик образована от производной формы мужского крестильного имени Евсевий (в народном варианте Евсей). Греческое имя Εὐσέβιος (Эвсевиос) переводится как «благочестивый». В русской обиходной речи имя быстро сократилось до кратких форм — Евса, Евся, Евсик. Именно от усеченной основы Евс- с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -ик и возникла фамилия. В буквальном смысле Евсик — «сын Евсы» или «маленький Евсей».

Суффикс -ик в русских фамилиях встречается реже, чем привычные -ов или -ин. Он характерен для западнорусских, украинских и белорусских земель, где такие модели были особенно распространены в XVI–XVII веках. Поэтому географически фамилия Евсик чаще всего встречается в Беларуси, на Смоленщине и в западных областях России. В центральных и восточных регионах аналогичное имя дало бы фамилию Евсеев или Евсин.

Однокоренные фамилии — Евсеев, Евсюков, Евсин, Евсейкин, Евсеенко. Все они восходят к тому же имени, но различаются суффиксами и региональными особенностями словообразования. Евсик — одна из самых компактных и редких форм, сохранившая первоначальное уменьшительное звучание.