Фамилия Евстегеева — редкий случай, когда женская форма закрепилась в качестве основной точки входа, хотя по происхождению она, конечно, отчество. Её мужской вариант — Евстегеев. В основе лежит крестильное имя Евстигней (от греческого «эустигнос» — «благое знамение», «добрый знак»), но народная русская речь перекроила его до неузнаваемости. Церковное имя Евстигней в быту звучало как Евстегней, Евстегн, а в просторечии превратилось в Евстегей или Евстехей. От этой обиходной формы «Евстегей» и пошла фамилия: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?» — сын Евстегея).

Обратите внимание на написание: в современном русском языке фамилия чаще пишется через «е» после «г» — Евстегеев, но в старых документах и в устной традиции встречается вариант Евстигеев. Это не ошибка, а отражение того, как в разных губерниях произносили имя: где-кали, где-то редуцировали гласные. Человек с фамилией Евстегеева мог быть потомком крестьянина, который в документах значился как Евстегей, а в быту — Евстеха.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южным регионам России: Курская, Воронежская, Тамбовская области, а также Поволжье. Встречается она нечасто, и это косвенно говорит о том, что родоначальник не принадлежал к дворянству — подобные отчества на -ев, образованные от просторечных форм, типичны для крестьянской и мещанской среды. В святцах имя Евстигней значится, но в народе оно не было таким массовым, как Иван или Пётр, поэтому и фамилия осталась относительно редкой.

Интересная деталь: фамилия Евстегеева стоит в одном ряду с однокоренными Евстигнеевым и Евстегнеевым. Разница только в том, какая именно форма имени закрепилась в конкретной семье. Если у вас фамилия именно Евстегеева — значит, в родословной был человек, которого в обиходе звали Евстегей, а не полным церковным Евстигнеем. Это нормальный процесс адаптации греческого имени на русской почве, и фамилия сохранила именно этот живой, разговорный вариант.