Фамилия «Еыимов» — редкий случай в русской ономастике, и сразу стоит оговориться: её написание, скорее всего, содержит опечатку или является результатом искажения. В русском языке буква «ы» не стоит в начале слова (кроме заимствований вроде «ыкать»), а после гласной «е» в корне она грамматически невозможна. С высокой вероятностью исходная фамилия — Ефимов, одна из самых распространённых в России.

Если же мы имеем дело именно с формой «Еыимов», то перед нами либо ошибка при переписи (замена «ф» на «ы» из-за неразборчивого почерка), либо редкий диалектный вариант, где «ы» могла заменять «ф» в просторечии (сравните: «Абрам» — «Авраам», но для фамилий это нетипично). В любом случае, этимологически фамилия восходит к крестильному имени Ефим (от греческого Euphemios — «благочестивый», «благоговейный»). Модель образования классическая: основа имени + патронимический суффикс -ов, означающий «сын Ефима» или «потомок Ефима».

Если отбросить графический курьёз, то фамилия Ефимов (а «Еыимов» — её вероятный дубль) относится к древнейшему пласту русских фамилий. Она фиксируется в документах с XV–XVI веков, когда отчества на -ов стали превращаться в наследственные фамилии. Предки носителя могли быть людьми любого сословия: от крестьян и посадских до священников (имя Ефим часто давали в монашестве). Географически фамилия особенно распространена в центральных и северных губерниях России, а также на Урале.

Таким образом, если вы ищете информацию о фамилии «Еыимов», скорее всего, ваш предок по мужской линии звался Ефимом, а сама фамилия — жертва канцелярской ошибки или особенностей местного говора. Проверить это можно по дореволюционным метрическим книгам: в них наверняка встретится привычное написание «Ефимов».