Фамилия Еыимова — редкий и необычный случай даже для русского ономастикона. Первое, что бросается в глаза, — нестандартное сочетание букв «ыи» в корне. В русском языке такое сочетание почти не встречается в исконных словах, что сразу наводит на мысль об иноязычном происхождении основы. Скорее всего, перед нами фамилия, возникшая из искажённого при записи имени или прозвища.

Наиболее вероятная версия — это искажённая форма фамилии Ефимова. При переписи или в бытовой записи, особенно в диалектной среде, где «ф» произносили как «хв» или «п», а «и» редуцировали, имя Ефим могло превратиться в Еыим. Второй вариант — основа связана с тюркскими или финно-угорскими корнями, где звук «ы» встречается чаще. Например, от тюркского слова «еы» (в значении «добрый», «хороший») или от имени Еыи (встречается в записях XVII века у народов Поволжья). Но это лишь гипотезы, подкреплённые скорее логикой, чем прямыми документами.

Суффикс «-ов» (в женском роде «-ова») — стандартный патронимический формант, указывающий на принадлежность: «чей?» — Еыимов, то есть сын Еыима. Фамилии на «-ов» массово закреплялись в центральной России и на севере, в то время как на юге и западе чаще встречались «-ин» и «-енко». Географически носители фамилии Еыимова сегодня встречаются единично, в основном в отдалённых районах Архангельской и Вологодской областей, где сильны были местные говоры и вероятность ошибок при записи выше.

Модель образования фамилии — типичная для крестьянской среды: от личного имени или прозвища, без привязки к сословию. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Если ваша фамилия именно Еыимова, а не Ефимова, — вы носитель редкого варианта, который, скорее всего, обязан своим появлением живой устной традиции и особенностям местного произношения, а не книжной норме.