Фамилию Фаеихов вряд ли встретишь в распространённых справочниках — она редкая и, скорее всего, имеет искусственное или позднее происхождение. Первое, что бросается в глаза, — необычная основа «Фаеих». В русской ономастике нет очевидного корня с таким звучанием, поэтому логичнее всего предположить, что это адаптация иноязычного имени или прозвища.

Самый вероятный путь — происхождение от арабского или тюркского имени Фаик (в значении «превосходящий», «отличный»). В некоторых диалектах или при записи через загс буква «к» могла перейти в «х», а окончание «-ов» добавили по русской модели образования фамилий. Менее правдоподобна, но возможна версия от мусульманского имени Фаех (с тем же корнем, означающим «победоносный»). Суффикс «-их» в середине фамилии — редкий для русского языка: обычно фамилии на «-их» (типа Седых, Босых) стоят в родительном падеже множественного числа и не склоняются. Здесь же «Фаеих» выглядит как основа, к которой приставили «-ов», что указывает на позднюю русификацию: носителя могли записать как Фаеих, а затем «по-русски» добавили фамильный суффикс.

Географически фамилия могла закрепиться в регионах с мусульманским населением — Поволжье, Северный Кавказ, Средняя Азия, — но точных данных о распространении нет. Социальный контекст: такие фамилии обычно носили крестьяне или мещане, получившие фамилию при переписях XIX — начала XX века, когда чиновники на слух записывали имена в метрики. Если предок носил прозвище Фаеих (возможно, от тюркского «файе» — «польза», «выгода»), то фамилия могла указывать на его деловые качества или удачливость.

Итог: Фаеихов — это русифицированная форма восточного имени, скорее всего, восходящего к арабскому Фаик. Фамилия не имеет древнерусских корней, но отражает культурный и языковой контакт, типичный для южных и восточных окраин Российской империи.