Фамилия Филкина — это прежде всего женская форма, а её мужской вариант — Филкин. Она образовалась по простой и распространённой в русской ономастике модели: от имени или прозвища с помощью суффикса -ин, который указывает на принадлежность («чей?» — Филкин, то есть сын или потомок Фильки).

Основа здесь — Филька. Это не просторечная или уменьшительная форма имени Филипп, а одна из самых ходовых в народной среде. Филипп — имя греческого происхождения («любящий коней»), но в русских деревнях и городах XVI–XIX веков Филька звучало ничуть не реже, чем полная форма. От него пошли десятки фамилий: Филиппов, Филипович, Филипьев, Филин, Филичев и, конечно, Филкин.

Интересная деталь: в некоторых говорах «филька» имело не только личное, но и нарицательное значение. В псковских и тверских диалектах так называли простоватого, нерасторопного человека, а в Сибири — даже небольшой сорт рыбы (сравните с фамилией Ершов). Однако первичным и основным источником фамилии всё же остаётся крестильное имя Филипп. Фильками в документах записывали крестьян, посадских людей и мелких служилых — фамилия Филкин почти не встречается в дворянских родословных, что указывает на её простонародное происхождение.

Географически фамилия Филкина (и Филкин) чаще всего фиксируется в северных и центральных областях России — в Архангельской, Вологодской, Костромской, а также в Поволжье. Встречается и вариант с ударением на первый слог (Фи́лкин), и на второй (Филки́н) — это зависит от местной говорящей традиции. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был крестьянином или ремесленником, а его дальний родоначальник носил имя Филька — сокращение от Филиппа, которое в быту звучало ласково или фамильярно, но без пренебрежения.