Фамилия Финожонков — редкий случай, когда основа настолько затемнена, что даже привычный суффикс не помогает сходу. На вид — типичная «-ов» фамилия, образованная от прозвища или имени на -а/-я (ср. Иванов от Иван, но тут скорее Финожонок, как ребёнок или потомок). Но что скрывается за этим «Финожон-»?

Самая вероятная версия ведёт к крестильному имени Афиноген. В народной речи оно подверглось сильному сокращению и переделке: Афиноген — Финоген — Финожон. Усечение первого слога (Афи- > Фи-) — обычное дело для русских говоров, ср. Евдокия — Авдотья, но тут ещё и замена «г» на «ж» (Финоген > Финожен). А форма с суффиксом -онок/-ёнок (Финожонок) указывала на молодого человека или сына: буквально «сын Финожена». Потомки такого сына и стали Финожонковыми. То есть ваш предок, скорее всего, был сыном человека по имени Финожен (народный вариант канонического Афиноген).

Менее надёжная, но возможная гипотеза — связь с диалектным словом «финожа» (нечто финское, либо прозвище по происхождению). Однако в русских говорах такое слово не зафиксировано широко, а суффикс -онок плохо сочетается с этническим прозвищем: «фин» дал бы скорее Финов или Финкин, а не Финожонок. Поэтому церковное имя остаётся главным объяснением.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южнорусским областям, где имя Афиноген было в ходу у крестьян и мещан. Встречаются варианты написания: Финожонков и Финожёнков (через «ё»), что лишь отражает произношение. В дворянских родословных книгах эта фамилия не значится — типичная крестьянская или однодворческая, образованная от простонародной формы имени.

Если отбросить домыслы, суть проста: Финожонков — это «внук Афиногена», где исходное имя прошло через несколько ступеней народной переработки, характерной для русской ономастики XVII–XVIII веков.