Фамилия Фыкина — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия в привычном смысле, а звукоподражание. Образована она от прозвища Фыка, которое восходит к диалектному глаголу «фикать». В псковских говорах это слово значит «свистеть» — отсюда и главная версия: Фыкой могли прозвать человека, который часто свистел, делал это пронзительно или как-то особенно, на свой лад.

Но у прозвища есть и вторая, более конкретная тропинка. Фыкой могли называть мастера, который изготавливал свистки и детские игрушки-свистульки. В крестьянской среде такое ремесло было заметным: глиняные птички, петушки и прочие свистульки делали на продажу к ярмаркам, и за человеком прочно закреплялось прозвище по делу его рук. Потомок такого умельца или просто свистуна со временем получал фамилию Фыкина — по женской линии, если речь о женщине, или Фыкин для мужчины.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Фыкин сын, Фыкина дочь. Это типичная для северных и центральных русских земель модель, но сам корень выдает псковское или, шире, северо-западное происхождение. Слово «фикать» за пределами этих говоров почти не встречается, а в письменных источниках фамилия попадается редко — что неудивительно: прозвищные фамилии от звукоподражательных глаголов всегда были штучным товаром.

Стоит отличать Фыкину от похожих на слух Фокиных. Фокин идет от канонического имени Фока, а Фыкина — от прозвища с диалектной огласовкой. В некоторых говорах «фыкать» означало также фыркать или сердито пыхтеть, поэтому нельзя полностью исключать, что прозвище отражало характер — например, ворчливого или вспыльчивого человека. Но свист остается основной версией: он и в глаголе, и в ремесле.

Написание с буквой «ы» — не ошибка и не искажение, а фиксация живого произношения. В документах XIX века такую фамилию могли записать и как Фыкина, и как Фыкина с ударением на первый слог, и даже как Фикина — но последний вариант скорее исключение, так как «ы» в корне держалось устойчиво. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из Псковской губернии или соседних уездов, где «фикать» было обычным словом.