Фамилия Гаитинов — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ин, а не более распространённый -ов. В русской ономастике -ин обычно крепится к основам на -а/-я (Гагарин — от Гагара, Ильин — от Илья) или к словам, обозначающим людей по родству или профессии (Попов — поп, но Попи́н — «сын попа» в некоторых говорах). Однако здесь основа «Гаитин», а не «Гаитя» или «Гаита». Это наводит на мысль, что суффикс мог прирасти к фамилии позже, уже при адаптации в русской среде, или что перед нами вариант фамилии с другим, нерусским корнем.

Самая правдоподобная версия — связь с топонимом Гаита или Гайта. В русской истории известна деревня Гаитино (бывшая Тверская губерния, Вышневолоцкий уезд), а также село Гаитино под Киевом. Названия этих поселений, скорее всего, восходят к диалектному слову «гай» — лес, роща (южнорусское и украинское). Житель такого места получал прозвище «Гаитин» — «тот, кто из Гаитина» или «живущий у гая». Суффикс -ин в этом случае работает как притяжательный, но не от имени, а от места: «Гаитин» — «человек из Гаитина». Фамилия Гаитинов тогда — это «сын Гаитина», то есть потомок выходца из этого села.

Вторая версия, более редкая, — происхождение от личного имени или прозвища Гаит. В старых русских говорах «гаить» означало «кричать, шуметь», а «гай» — «крик, гам». Прозвище Гаит могли дать крикливому, шумному человеку. От него по модели «Гаит → Гаитов» образовалась бы фамилия Гаитов, но здесь мы видим Гаитинов. Это могло возникнуть, если прозвище звучало как «Гаита» (женская форма или ласкательное) — тогда «Гаитин» — «сын Гаиты». Однако такая цепочка менее вероятна из-за редкости самого прозвища.

Третья, экзотическая гипотеза — связь с тюркским корнем gayit (возвращаться, приходить в себя) или арабским гаит (дождь). Но для фамилии с русским суффиксом -ин и без следов тюркского окончания (например, -ов/-ев) это выглядит натяжкой. Если бы предок был тюрком, фамилия скорее приняла бы форму Гаитов или Гаитев.

Географически фамилия Гаитинов сегодня встречается в основном в центральной России и на Украине, что подтверждает связь с тверскими и киевскими топонимами. Социальный состав носителей, судя по архивным данным XIX века, — в основном крестьяне и мещане, что типично для фамилий, образованных от названия деревни.

Итог: скорее всего, ваш предок — выходец из села Гаитино (Тверская или Киевская губерния). Фамилия образована не напрямую от имени, а через прозвище по месту жительства, что реже встречается в русской ономастике, но вполне объяснимо для редких локальных фамилий.