Фамилия Гапочка — украинского происхождения, но её основа ведёт в глубь христианской традиции. Она образована как уменьшительная форма от крестильного имени Агафон, которое пришло из греческого языка и означает «благой» или «добрый». В православных святцах это имя носили несколько почитаемых фигур: римский папа Агафон (VII век), патриарх Иерусалимский Агафон (X век), а также два мученика, чья память приходится на 10 января и 14 февраля по юлианскому календарю.

Уменьшительный суффикс -к- в фамилии Гапочка — характерная черта украинской ономастики. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев или -ин, украинские фамилии с таким суффиксом часто фиксировали прозвище или семейное имя в форме, близкой к обиходной. Получается, что предок носителя фамилии, скорее всего, звался в быту Гапочкой — ласково или для отличия от других Агафонов в округе.

Стоит обратить внимание на начальное «Г» вместо «А»: это результат типичного для украинского языка сокращения или отпадения безударного гласного в начале имени. Сравните с другими украинскими формами: Гапка, Гапон, Гапей — все они восходят к тому же Агафону. В русской традиции имя дало фамилии вроде Агафонов или Гапонов, так что Гапочка стоит в одном ряду с ними, но с собственной региональной огласовкой.

Географически фамилия Гапочка чаще всего встречается в центральных и восточных областях Украины, где такие уменьшительные формы были особенно распространены. Социальный статус носителей в прошлом, скорее всего, был крестьянским или казачьим — фамилии на -ка в украинской среде редко указывали на дворянство, а скорее выдавали простое происхождение.