Фамилия Гапочко звучит как типичная украинская или южнорусская фамилия, и это подтверждается её словообразованием. Суффикс -ко характерен для украинской ономастики: он уменьшительно-ласкательный, но в фамилиях часто утрачивает это значение и просто указывает на происхождение носителя с определённой территории (подтверждение — работы Б. Унбегауна о русских фамилиях, где -ко выделяется как украинский аналог русских -ов/-ев). Основа фамилии — Гапочка или Гапок.

Самое очевидное объяснение: Гапочко — это производное от личного имени Гапка, народной формы канонического имени Агапия (от греч. agape — «любовь»). В украинской традиции имя Агапия часто сокращалось до Гапа, а уменьшительная форма Гапка дала основу для прозвища. Человек, которого в быту звали Гапкой, мог получить фамилию Гапочко — «сын Гапки» или «потомок Гапки». Это распространённая модель: от женского имени через суффикс -ко образовывали фамилии для детей, особенно в тех случаях, когда мать была вдовой или играла заметную роль в хозяйстве.

Вторая, менее вероятная, версия связывает фамилию с прозвищем Гапка от диалектного глагола «гапать» — «зевать, хватать ртом воздух» или «кричать». В некоторых говорах «гапа» — это ротозей или крикун. Но эта версия слабее: прозвища на -ка чаще давали по внешним или поведенческим чертам, и они редко становились основой для фамилий на -ко, если не было промежуточного имени. Поэтому более правдоподобно связывать Гапочко с именем.

Географически фамилия встречается в основном на Украине (особенно в центральных и восточных областях) и в приграничных регионах России (Курская, Белгородская области). Встречается также вариант написания Гапочка — он указывает на то, что в некоторых семьях фамилия не изменила окончание при русификации. В архивных записях XIX века Гапочко можно найти среди крестьян и мещан, что типично для фамилий такого типа: они не указывали на дворянское происхождение, а фиксировали принадлежность к определённому роду в сельской общине.

Таким образом, если ваша фамилия Гапочко, ваши предки, скорее всего, были выходцами с Украины, а их родовое прозвище пошло от имени Гапка — сокращения от Агапия.