Фамилия Гапша — редкая и необычная, её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ин, она имеет характерный южнославянский или молдавский след. Скорее всего, это не переделанное русское прозвище, а фамилия, принесённая переселенцами из балканского региона или Молдавии.

Основа «гап-» может восходить к румынскому (молдавскому) слову «gapșă» или его диалектным вариантам, означающим «оплеуха», «пощёчина», а также «ляпсус» или «неуклюжий поступок». В этом случае прозвище Гапша давали человеку вспыльчивому, который мог ударить, или, наоборот, тому, кто часто попадал в неловкие ситуации. Менее вероятна, но возможна связь с украинским или польским «гапка» — «галка» (птица), но тогда фамилия скорее имела бы форму Гапченко или Гапковский.

Фамилия не имеет типичного русского суффикса принадлежности (-ов, -ев, -ин), что указывает на её застывшую форму прозвища или на происхождение из языков, где фамилии часто оканчиваются на гласную (молдавский, болгарский, сербский). В русской среде такая фамилия — явный маркер нерусского корня. Носители фамилии Гапша встречаются в основном на юге России, в Краснодарском крае, Ростовской области, а также в Молдавии и на Украине — это подтверждает версию о миграции.

Словообразовательная модель проста: фамилия образована от прозвища Гапша без добавления дополнительных суффиксов. По сути, это и есть исходное прозвище, которое «закрепилось» за родом. В дореволюционных документах фамилия могла писаться и как Гапша, и как Гапша́ (с ударением на последний слог), что характерно для молдавских фамилий. В современном русском языке ударение чаще всего ставят на первый слог: Га́пша.