Фамилия Гарагашев — редкая, и её разбор сразу упирается в неочевидный корень. Скорее всего, перед нами фамилия тюркского происхождения, а не русская по основе.

Суффикс -ев указывает на модель образования от имени или прозвища, оканчивающегося на согласный. Основа «Гарагаш» в тюркских языках (кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском) распадается на «кара» — «чёрный, тёмный» и «гаш» (или «каш») — «бровь». Буквальное значение: «чёрная бровь» или «чернобровый». В тюркской ономастике такие прозвища давали по внешности — яркой, густой, сросшейся на переносице брови, которую называли «чёрной» не столько по цвету, сколько по густоте и выразительности.

Версия о происхождении от арабского имени Гарагаш (редкое мусульманское имя) менее вероятна: такого имени в классических арабских именословах нет, а в тюркских языках слово «карагаш» фиксируется как прилагательное или прозвище. Есть и другая гипотеза: «гарагаш» могло быть искажением слова «карагач» — названия дерева (вяз). Но переход «ч» в «ш» в тюркских диалектах случается, хотя для фамилии, производной от дерева, ждали бы суффикса -ов с другим значением — скорее «сын карагача», что маловероятно.

Географически фамилия Гарагашев распространена в Дагестане, Чечне, Ставропольском крае, реже — среди астраханских ногайцев и кубанских ногайцев. Это подтверждает тюркскую основу: носители фамилии — потомки тюркоязычных народов Северного Кавказа, у которых фамилии на -ев часто образовывались от прозвищ.

В русском контексте фамилия могла возникнуть при переписях, когда тюркское прозвище записывали на слух, без перевода, и закрепляли за родом как родовое имя. Сословно — скорее всего, крестьянская или казачья среда, поскольку знать Северного Кавказа чаще носила фамилии на -ов с арабскими или персидскими корнями.

Итог: Гарагашев — фамилия, которую дали предку за выразительную, густую чёрную бровь, и она сохранила звучание тюркского прозвища, почти не изменившись за столетия.