Гарютка — народная форма христианского личного имени Герасим, которое происходит от греческого «герасмиос» - «почтенный, уважаемый» и имеет ряд форм. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Гарютка, со временем получил фамилию Гарюткин.