Фамилия Гасай — редкий случай, когда географический разброс сразу подсказывает, как её читать. Встречается она в двух совершенно разных регионах: на Северном Кавказе (у чеченцев и ингушей) и на западе Украины. И происхождение в каждом случае своё.

Если носитель фамилии — с Кавказа, перед нами вариант известного имени Хасан. В чеченском и ингушском языках звук «х» на стыке с гласным часто переходит в «г», а конечное «н» отпадает. Так Хасан превращается в Гаса. Суффикс -й (как в фамилиях Дудай, Мадай) — типичный для вайнахских фамилий формант, указывающий на принадлежность к роду. То есть Гасай — буквально «принадлежащий Гасе», потомку человека по имени Хасан. Имя Хасан (от арабского «красивый») у мусульманских народов крайне популярно, так что основа фамилии прозрачна и не вызывает споров.

Вторая версия — украинская. На западе Украины, особенно в Ивано-Франковской и Львовской областях, фамилия Гасай могла возникнуть от прозвища Гас, Гасло или Гаса. В украинских говорах «гасати» означает «бегать, носиться, прыгать». Так могли прозвать непоседливого, подвижного человека. Суффикс -ай — один из способов образования прозвищных фамилий в украинской ономастике (сравните: Шуляй, Крутай). Фонетически украинская версия тоже устойчива: мягкое «г» и ударение на второй слог.

Споров между этими версиями нет — обе правдоподобны и подтверждаются географией. Вам остаётся только посмотреть, откуда родом ваши предки. Если корни ведут в Чечню или Ингушетию — фамилия от имени Хасан. Если в Западную Украину — от прозвища за живость нрава.

Социальный состав носителей разный: на Кавказе Гасаи — это представители тейпов, традиционно занимавшиеся скотоводством и земледелием; на Украине — крестьяне или мещане. Единого дворянского или купеческого рода с такой фамилией не зафиксировано.

В написании никаких сложностей: фамилия склоняется по мужскому роду (Гасая, Гасаю), у женщин не склоняется. Искать однокоренные фамилии стоит в зависимости от региона: на Кавказе это Гасанов, Гасаев; на Украине — Гасайчук, Гасюк.