Фамилия Гауф — одна из тех, что пришли в Россию вместе с немецкими колонистами, переселявшимися по приглашению Екатерины II в Поволжье, Причерноморье и на Волынь. Поэтому её происхождение ищут не в славянских языках, а в немецких диалектах, и здесь есть несколько версий, одинаково правдоподобных.

Самая прямая основа — средневерхненемецкое houfe, что значит «куча», «груда». В быту так могли назвать человека, жившего в каменистой или холмистой местности, где нагромождение камней бросалось в глаза. Но у того же слова было и переносное значение — «толпа», а в южнонемецких говорах — «рота солдат». Отсюда прозвище могло достаться шумному, говорливому человеку, от которого шума было как от целого отряда.

Фамилия образована без типичных русских суффиксов — она застыла в форме чистого прозвища. Это характерно для фамилий немецких колонистов, которые часто переносили прозвище в официальный документ без изменений. В русском языке фамилия Гауф не склоняется, если принадлежит мужчине, и не склоняется у женщин.

Интересно, что в Германии встречаются варианты написания Hauf, Haufe и Hauff — последний известен по писателю Вильгельму Гауфу, автору сказок. Русская передача «Гауф» закрепилась в XIX веке через метрические книги лютеранских приходов. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из южных земель Германии (Бавария, Вюртемберг) или из числа поволжских колонистов.