Фамилия Гаврильцева — редкий пример, когда женская форма стала основной в написании, хотя по происхождению она, конечно, отчество. В основе лежит имя Гаврила — народная форма канонического имени Гавриил, что в переводе с древнееврейского означает «моя сила — Бог». Но интереснее здесь суффикс. Большинство русских фамилий на -ов/-ев образованы от полных форм (Гаврилов), на -ин — от основ на -а/-я (Гаврилин). А вот -цев (в мужском варианте Гаврильцев) — патронимический суффикс, который в XV–XVII веках прикрепляли к именам, оканчивающимся на мягкий согласный или -ль. Он указывал на принадлежность более конкретно: не просто «сын Гаврилы», а «сын Гаврильца» — то есть человека, которого в быту звали уменьшительно-ласкательно Гаврилец или Гаврильцо.

Эта модель типична для северных и центральных областей России, особенно для Вологодчины, Архангельской губернии и Вятки, где такие «двойные» суффиксы встречаются чаще, чем в южных говорах. Гаврильцевы, скорее всего, происходят из крестьян или посадских людей: в этих регионах фамилии на -цев нередко получали не дворяне, а свободные землепашцы и ремесленники. Само имя Гаврила было одним из самых распространённых в допетровской Руси, поэтому однокоренных фамилий много — Гаврилов, Гаврилин, Гавриленко, Гавришев. Но Гаврильцева выделяется именно редкой словообразовательной цепочкой: имя Гаврила → уменьшительное Гаврилец → отчество Гаврильцев → фамилия Гаврильцева.

В современных справочниках фамилия нечастотная, сосредоточена в основном в Вологодской и Кировской областях, а также встречается у переселенцев в Сибири. Если ваш предок носил её, он мог быть жителем северной деревни, где имя Гаврила было настолько обычным, что для различения людей требовалось уточнение «внук того самого Гаврильца».