Фамилия Гаврильцова — редкий случай, когда в основе лежит не распространённое имя Гаврила, а его уменьшительная форма с нестандартным суффиксом. Обычно от имени Гаврила (каноническая форма Гавриил) образовывали фамилии через суффиксы -ов или -ин: Гаврилов, Гаврилин. Здесь же мы видим суффикс -ец (в форме Гаврилец), который в русской антропонимии означал либо принадлежность к чему-то (например, «житель такого-то места»), либо просто ласкательный оттенок. Затем к основе Гаврилец- добавили стандартный патронимический суффикс -ов, и получилась фамилия Гаврильцов. Форма Гаврильцова — женский вариант или родительный падеж (в старых документах «дочь Гаврильцова»).

Корень фамилии — имя Гаврила, которое в народе часто произносили через «о» — Гаврила, хотя в церковной традиции сохранялось Гавриил. Само имя древнееврейского происхождения и означает «муж Божий» или «сила Божья». В русских говорах имя давало множество прозвищных форм: Гавря, Гаврик, Гаврилка, Гаврило, а также Гаврилец. Последняя форма бытовала в северных и центральных регионах России, где -ец добавляли к именам для обозначения молодого человека или сына: например, Иванец, Петрец. Соответственно, Гаврильцов — это буквально «сын Гаврильца», то есть потомок человека, которого в быту называли Гаврильцем.

Географически фамилия Гаврильцова встречается редко, преимущественно в Вологодской, Архангельской и Кировской областях — тех краях, где сохранялась архаичная модель образования отчеств через -ец. В XIX веке носители этой фамилии чаще всего были государственными крестьянами или мещанами, никакого дворянского статуса за ней не закрепилось. В переписных книгах и ревизских сказках можно встретить варианты написания: Гаврильцов, Гаврильцова, а также ошибочное Гаврильцев — под влиянием более распространённого суффикса -ев.

Интересная деталь: в отличие от фамилии Гаврилов, которая встречается повсеместно, Гаврильцова сохранилась как локальный маркер. Если ваш предок носил такую фамилию, он, скорее всего, происходил из северной деревни, где имя Гаврила было в ходу, а местный говор допускал стяжённую форму Гаврилец. В советское время фамилия могла упроститься до Гаврильцев из-за канцелярских ошибок, но исходная форма с -ов указывает на более старую, патронимическую традицию.