Фамилия Гаврилюх — это не самостоятельное образование, а фонетический вариант более распространённой фамилии Гаврилюк. Разница в написании объясняется особенностями местного произношения: в некоторых говорах, особенно на стыке украинского и белорусского языков, конечный звонкий согласный «г» (который на письме передаётся как «к») мог оглушаться или, наоборот, заменяться на «х». Поэтому Гаврилюх и Гаврилюк — по сути, одна и та же фамилия, записанная по-разному в зависимости от того, как её слышал писарь.

В основе фамилии лежит имя Гаврил (или Гаврила) — просторечная форма крестильного имени Гавриил. В переводе с древнееврейского оно означает «божественный воин» или «моя сила — Бог». Фамилия образована при помощи суффикса -юк, который в украинской и белорусской традиции имел значение «сын такого-то» или «потомок». То есть Гаврилюк (а значит, и Гаврилюх) буквально понималось как «сын Гаврилы».

Сам суффикс -юк типичен для западных регионов — Волыни, Подолья, Галиции, а также для юга Беларуси. Именно там, в зоне смешения говоров, и могла возникнуть форма Гаврилюх. В отличие от фамилий на -ов или -ин, которые чаще встречались в центральной и северной Руси, эта модель указывает на юго-западное происхождение рода.

Таким образом, если ваша фамилия Гаврилюх, ваши предки, скорее всего, жили на западе современной Украины или в приграничных районах Беларуси, а их родоначальника звали Гаврилой. Сама фамилия — это не ошибка в записи, а живое свидетельство того, как звучала речь в конкретном селе или местечке.