Фамилия Гажеев — редкий случай, когда даже опытный ономаст не даст единственного ответа с ходу. В ней нет привычного славянского корня, и это сразу указывает на её вероятное происхождение: скорее всего, перед нами фамилия из тюркского или кавказского ареала.

Первый и самый надёжный путь — разобрать основу «Гаж-» с учётом суффикса «-ев». В русской модели фамилий суффикс «-ев» обычно присоединяли к основам на мягкий согласный или на «й». Но в нерусских фамилиях он часто служил простым русификатором: местное имя или прозвище «Гаж» (или «Гажа») получало русское окончание, чтобы вписаться в документы. Если искать параллели в осетинском или ингушском языках, слово «гаж» может означать «козёл» или «козлёнок» — такое прозвище давали упрямому, бодливому или, наоборот, ловкому человеку. В чеченском языке есть корень «гӀаж» (произносится близко к «гаж»), который связан с понятием «опора», «столб» — возможно, прозвище относилось к крепкому, устойчивому мужчине.

Вторая версия, менее очевидная, но не исключённая: фамилия могла образоваться от тюркского имени Гази (Газый) через фонетическое искажение. В диалектах или при записи «Газиев» могло перейти в «Гажеев» — такое смягчение согласного встречается в речи. Однако эта гипотеза слабее, потому что в документах фамилия Газиев и её варианты встречаются гораздо чаще, а Гажеев — единичная форма, что указывает на локальное, а не массовое происхождение.

География подсказывает: фамилия Гажеев встречается в основном на Северном Кавказе — в Ингушетии, Чечне, Северной Осетии. В центральной России она практически не известна. Это значит, что предки носителя фамилии, скорее всего, были горцами, получившими русское окончание фамилии при переписях или при оформлении паспортов в XIX–XX веках. О сословии говорить сложно: среди горцев фамилии могли носить и рядовые общинники, и представители знатных родов — без дополнительных данных определить это невозможно.

Таким образом, Гажеев — это русифицированная фамилия, в основе которой лежит местное прозвище или имя, связанное с характером, внешностью или бытом. Точное значение утеряно, но круг поиска узок: это почти наверняка Кавказ.