Фамилия Гилимова — женская форма фамилии Гилимов. Основана она на имени или прозвище, которое уходит корнями в тюркские языки. В отличие от многих русских фамилий, образованных от крестильных имён (Иван, Пётр), Гилимова несёт в себе восточный след, что сразу указывает на возможное происхождение предков из татарской, башкирской или другой тюркоязычной среды.

Разбираем корень. В основе лежит имя Гилим — вариант арабского имени Халим, которое означает «кроткий», «терпеливый», «мягкосердечный». В исламской традиции одно из имён Аллаха — Аль-Халим (Всепрощающий, Кроткий), так что имя несли с надеждой на соответствующие качества. При переходе в русскую среду через метрические книги или перепись восточное имя обрастало типичным русским суффиксом принадлежности -ов/-ев: Гилим + ов = Гилимов. Суффикс указывает на то, что фамилия — отчество второго порядка: «сын Гилима». Женская форма, соответственно, Гилимова — «дочь или жена Гилимова».

Интересная деталь: в некоторых диалектах и говорах Поволжья фамилия могла фиксироваться как Гелимов или Галимов — через «а» или «е» в первом слоге, что связано с особенностями произношения гласных в татарском языке (редукция). Если ваши предки носили фамилию Гилимов, велика вероятность, что они были из числа служилых татар, мещан или крестьян Казанской, Симбирской или Уфимской губерний. В XIX веке такие фамилии активно закреплялись за мусульманскими семьями при переходе в православие или при записи в ревизские сказки — имя Гилим могли дать как при рождении, так и после крещения, если хотели сохранить звучание, близкое к родному.

Однокоренные фамилии — Галимов, Халимов, Галимуллин — распространены шире, но Гилимова встречается реже, что говорит о более узком ареале бытования. Возможно, это локальный вариант, закрепившийся в конкретном селе или роду. Если вы ищете корни, имеет смысл смотреть не только на фамилию, но и на имя отца — в старых документах могло быть написано «Гилим сын такой-то».