Фамилия Грузинский в подавляющем большинстве случаев указывает на географическое происхождение предка. Основная и самая прямая версия: её получил человек, приехавший с Кавказа, из Грузии, либо тот, кого за внешность или манеры прозвали Грузином. Это типичная модель для русских фамилий на -ский, которые часто образовывались от названия местности или национальности: чем-то похожая судьба у фамилий Волынский, Казанский, Немчинов.

Менее убедительна гипотеза, связывающая фамилию с глаголом «грузить». Словообразовательная цепочка «грузить → Грузин → Грузинский» формально возможна, но семантически натянута: прозвище Грузин от «грузить» не встречается в исторических документах и словарях древнерусских прозвищ, тогда как прозвища по этническому признаку (Татарин, Немец, Литвин) — явление массовое. Поэтому версию с «грузом» стоит рассматривать как крайне редкую или ошибочную.

Обратите внимание на суффикс -ский. В отличие от простых фамилий на -ов (Грузинов), форма на -ский часто указывала на более позднее происхождение или на принадлежность к дворянскому или духовному сословию. В Российской империи фамилии на -ский нередко давали семинаристам при поступлении в училище — их «переделывали» из простонародных в более благозвучные. Однако конкретно для фамилии Грузинский есть и ещё один нюанс: она могла быть не только русской. Существовал княжеский род Грузинских — ветвь грузинской царской династии Багратионов, переселившаяся в Россию в XVIII веке. В этом случае фамилия указывала не на происхождение предка, а на титул и страну, которой он правил.

Таким образом, если ваши предки не были князьями, то с высокой вероятностью первый носитель фамилии Грузинский был либо выходцем из Грузии, либо получил своё прозвище за характерную внешность, которую окружающие ассоциировали с жителями этой страны.