Фамилия Иизбаев — редкий и неочевидный случай. На слух она кажется иноязычной, и это первая версия, которую стоит проверить. Вторая, более правдоподобная, ведет к русской диалектной основе, искаженной письмом и временем.

Словообразовательная модель проста: основа «Иизбай» + фамильный суффикс «-ев». Суффикс указывает на происхождение от отчества или прозвища: Иизбаев — сын Иизбая. Но что такое «Иизбай»? В русском языке слова с двумя «и» подряд в начале — редкость, обычно это результат стяжения или записи чужого имени. Если корень тюркский, то возможна связь с татарским или башкирским «избай» (от «из» — след, память, и «бай» — богатый, господин). Тогда фамилия означала бы «сын того, кто помнит предков» или «сын почтенного человека». Однако такая версия слаба: в тюркских языках нет типичного удвоения «и» в начале, и фамилия чаще выглядела бы как Избаев или Исбаев.

Гораздо убедительнее — русская диалектная основа. В северных и сибирских говорах слово «изба» произносили с растянутым «и» или с йотированием в начале: «иизба» (как «ииван» вместо «иван»). Прозвище Иизбай могли дать человеку по его дому, хозяйству или по тому, что он строил избы. В таком случае фамилия Иизбаев — это вариант от Избаев, где двойное «и» закрепилось из-за особенностей произношения или ошибки писаря при записи в метрических книгах. Писцы нередко фиксировали фамилии на слух, и редкое удвоение гласной могло стать фамильной нормой.

Географически фамилия тяготеет к восточным регионам России — Урал, Сибирь, где были распространены диалектные формы с «ии». Встречается и в Татарстане, что допускает смешанное происхождение: русская основа, адаптированная через тюркский суффикс «-бай» (показатель уважения). Но даже в этом случае фамилия остаётся редкой — носителей немного, и в исторических документах она почти не встречается до XIX века.

Спор между версиями решается просто: если бы корень был тюркским, фамилия бы звучала как Избаев или Исбаев. Двойное «и» — это почти всегда русская диалектная черта или описка. Поэтому предки Иизбаевых, скорее всего, были русскими крестьянами или ремесленниками, связанными с деревянным строительством, жившими в местности, где слово «изба» выговаривали с особым напевом.