Фамилия Ингашева — редкий случай, когда основа не лежит на поверхности и не отсылает к очевидному ремеслу или имени в крестильном календаре. Скорее всего, в её основе лежит прозвище или вариант личного имени, бытовавшего в определённой локальной традиции.

Словообразовательно фамилия прозрачна: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?» — Ингашев). Мужская форма Ингашев, женская — Ингашева. Корень «Ингаш» — вот где главная загадка. Самое правдоподобное объяснение — связь с тюркскими языками, где имя Ингаш могло быть вариантом имени Инга, Инкаш или уменьшительной формой от более полного имени (например, от тюркского «ин» — знак, метка). В некоторых тюркских диалектах «ингаш» могло означать «младший брат» или «родственник» — прозвище, данное младшему в семье.

Менее вероятна, но возможна версия, что Ингаш — это искажённое русское крестильное имя, например, Игнатий (через формы Игнаш, Ингаш). Однако для такого перехода нужна устойчивая диалектная среда, где «г» переходило бы в «н» под влиянием соседних языков. Географически фамилия Ингашева встречается в основном в Поволжье и на Урале — регионах активного русско-тюркского пограничья, что делает тюркскую версию более весомой.

Сословно предки Ингашевых, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами, возможно, из числа однодворцев. Фамилия не дворянская и не купеческая — её нет в родословных книгах высших сословий. Суффикс -ев, а не -ин, указывает на то, что основа оканчивалась на согласный или мягкий знак (Ингаш), что типично для прозвищ, а не для имён на -а.

В итоге: фамилия Ингашева — это «сын (или дочь) Ингаша», где Ингаш, скорее всего, тюркское прозвище младшего родственника или адаптированное диалектное имя. Она хранит след межэтнического контакта и не имеет отношения к популярным русским фамилиям на -ин от крестильных имён.