Фамилия Иванов-Клышников — составная, двойная. Первая часть, Иванов, происходит от крестильного имени Иван, которое в переводе с древнееврейского означает «Божия благодать, Божья милость». Это самая распространённая русская фамилия, и её добавление к основной указывает на то, что носитель хотел подчеркнуть принадлежность к роду Ивановых либо избежать путаницы с другими Клышниковыми.

Вторая часть, Клышников, сложнее и интереснее. Фамилия образована от прозвища Клышник, а оно, скорее всего, восходит к украинскому прилагательному «клишавый» — «косолапый». Именование Клышник содержит указание на особенности походки предка: так могли прозвать человека с кривыми ногами или характерной переваливающейся походкой. Суффикс -ник в прозвище типичен для обозначения человека по характерному признаку (ср. «хромой» — «хромышник»).

Есть и другая версия, менее очевидная, но лингвистически возможная: прозвище Клышник могло беречь начало от древнетюркского существительного «клыш» — «меч, сабля». В таком случае Клышником называли воина, мастера по изготовлению клинков или просто человека, носившего оружие. Однако связка «клыш — клышник» в русской ономастике встречается реже, чем диалектная основа «клишавый», поэтому первая гипотеза выглядит правдоподобнее.

Сама фамилия Клышников образована по стандартной русской модели: к основе Клышник добавили патронимический суффикс -ов, означающий «сын Клышника». Фамилия редкая, географически тяготеет к южнорусским и украинским областям — там, где «клишавый» было бытовым словом. Двойная форма Иванов-Клышников, скорее всего, закрепилась в XIX — начале XX века, когда фамилии стали передаваться строго по наследству и потребовалось различать ветви одного рода.