Фамилия Качаеовский — редкий пример, где написание почти наверняка искажено. В современном русском языке у неё нет устойчивой орфографической нормы, и, скорее всего, перед нами опечатка или народное переосмысление фамилии Качаловский или Кочановский. Разберём обе версии.

Если исходная форма — Качаловский, то в основе лежит прозвище или нецерковное имя Качало. В русских говорах «качало» — это либо качели, либо человек, который любит качаться, либо, в переносном смысле, нерешительный, «качающийся» в решениях человек. Суффикс -овский указывает на дворянский или шляхетский тип фамилий, распространённый на западе и юге России, в Беларуси и на Украине. Такие фамилии часто образовывали от названия поместья или села, владельцем которого был предок. То есть Качаловский мог означать «владелец хутора Качалово» или «выходец из села Качалово».

Вторая, более вероятная версия — фамилия образована от Кочан (капустный кочан) через форму Кочановский. Под влиянием акающего произношения (когда «о» без ударения звучит как «а») «Кочановский» превратился в «Качановский», а затем, при записи, мог появиться лишний гласный «е» — так возникло странное «Качаеовский». В этом случае предок мог быть огородником, торговать капустой или получить прозвище за круглую, плотную фигуру.

Географически фамилии с суффиксом -овский чаще всего встречаются в исторических границах Речи Посполитой: на территории современной Беларуси, западной Украины, а также в Смоленской и Брянской областях России. Если ваши предки оттуда, версия с Кочановским/Качаловским становится практически бесспорной.

Однозначно сказать, какая из основ верна, без архивных документов нельзя. Но сам факт, что фамилия записана с тремя гласными подряд («аео»), — почти стопроцентный признак того, что её либо переписывали со слуха, либо сознательно «облагородили» при получении паспорта, вставив лишнюю букву для благозвучия.