Фамилия Качарский — одна из тех, что сразу выдают географию своего происхождения. Суффикс -ский указывает на польское или западнорусское (украинское, белорусское) происхождение. Такие фамилии чаще всего образовывались от названия местности, где жил или откуда был родом основатель рода. В данном случае основа — «Качары» или «Качар». Это могло быть название деревни, хутора или урочища.

На карте Польши, Украины и Беларуси встречаются топонимы с корнем «Кач-»: например, Качарово, Качарин, Качары. Скорее всего, предок носителя фамилии был либо выходцем из такого поселения, либо владел им (если речь о шляхетском роде). В польской ономастике фамилии на -ский изначально были прерогативой знати, но со временем распространились и среди крестьян, особенно в XIX веке, когда многие получили фамилии по месту жительства.

Сам корень «кач-» может иметь несколько значений. В славянских языках «качаться» — двигаться из стороны в сторону. Но прозвище Качар вряд ли связано с этим глаголом напрямую. Более вероятно, что в основе лежит древнее личное имя или прозвище Качар, которое, в свою очередь, могло произойти от тюркского «качар» — «беглец», «изгнанник». В южнорусских и украинских степях такое прозвище могли дать пришлому человеку или тому, кто часто менял место жительства.

Встречается и версия, что фамилия Качарский могла быть образована от профессии. В некоторых говорах «качар» — это тот, кто качает воду, работает на качке (нефтяном промысле) или занимается валкой леса (от «качать» — валить деревья). Однако эта версия менее распространена, так как фамилии на -ский редко образовывались от ремесленных прозвищ — для этого чаще использовали суффиксы -ов/-ев.

Таким образом, Качарский — это типичная «географическая» фамилия. Ваш предок, скорее всего, был человеком, чья семья получила фамилию по названию места, где они жили. Это могла быть шляхта, владевшая фольварком Качары, или крестьяне, переселенные оттуда. Искать корни имеет смысл в западных регионах бывшей Речи Посполитой — на территории современной Польши, Западной Украины или Беларуси.