Фамилия Калыбек — редкий случай, когда мы имеем дело не с русской фамилией в привычном понимании, а с полным личным именем, которое стало родовым. В русской ономастике это называется «фамилизация» восточного имени: фамилия не образуется с помощью суффикса (как Иванов или Петров), а переходит в готовом виде. Поэтому разбирать её нужно не по модели «основа + окончание», а как целостное тюркское имя.

Основа — Калыбек — состоит из двух частей. Первая, «Калы», восходит к древнетюркскому «кал» — «оставайся, останься». Вторая, «бек» (или «бей»), — титул, означающий господина, князя, предводителя. В сумме имя Калыбек имеет охранительное, пожелательное значение: «пусть останется (живым, здоровым) и станет беком». Такие имена давали в тюркской среде (казахи, киргизы, каракалпаки) мальчикам, чтобы уберечь их от болезней и злых духов — считалось, что имя-оберег «задерживает» ребёнка в этом мире.

Поскольку фамилия не имеет русского суффикса, её носители — почти поголовно потомки выходцев из Средней Азии или Казахстана. В дореволюционных документах у казахов и киргизов фамилий не было, их заменяли имя отца и родовое имя. Калыбек как фамилия закрепилась в советское время, когда при паспортизации в 1920–1930-х годах записывали отца по имени: если отца звали Калыбек, то дети получали фамилию Калыбеков (с русским суффиксом -ов). Но в самой Средней Азии и Казахстане часто оставляли форму без суффикса — Калыбек. Поэтому географически фамилия тяготеет к южным регионам бывшего СССР: Казахстан, Киргизия, Узбекистан, а также к диаспорам в России.

Встречается и вариант Калыбеков — он более привычен для русского уха и указывает на то, что носитель живёт в русскоязычной среде (например, в Сибири или на Урале, куда переселялись казахи). Если видите фамилию без суффикса — перед вами, скорее всего, прямая запись имени, без адаптации. Это важная деталь: она говорит о том, что семья сохранила национальную форму, не русифицировала её.

Коротко для поиска: фамилия Калыбек происходит от тюркского имени-оберега со значением «оставайся беком». Носители — потомки казахов, киргизов или узбеков, у которых фамилия закрепилась в XX веке. Встречается в основном в Центральной Азии и у диаспор.