Фамилия Карклильш — редкая, и её происхождение почти наверняка связано с балтийским или немецким влиянием. В русском языке она выглядит чужеродно: сочетание «кль» и конечное «ш» нехарактерно для славянских фамилий. Скорее всего, это латышская или литовская фамилия, русифицированная при записи в документы. Основа «Каркл-» восходит к латышскому kārkls — «ива», «ракита». В таком случае фамилия могла возникнуть как прозвище по месту жительства (у ивовых зарослей) или по роду занятий (например, плетение из ивовой лозы).

Суффикс «-ильш» — типичный для латышских фамилий патронимический или уменьшительный формант (сравните: Берзиньш, Озолиньш). Получается, что Карклильш — это буквально «сын (или потомок) того, кто связан с ивой», или «маленькая ива». В латышской ономастике такие фамилии массово закрепились в XIX веке, когда крестьянам присваивали официальные фамилии по названиям деревьев, птиц или черт местности.

В русском контексте фамилия могла появиться у выходцев из Курляндской или Лифляндской губерний, переселившихся в центральные губернии или Сибирь. Из-за редкости и необычного звучания её нередко искажали при переписях: встречаются варианты «Карклильш», «Карклильс», а иногда и «Карклиш». Если ваш предок носил такую фамилию, он, вероятно, был латышом или литовцем по происхождению, а его корни — в среде сельских ремесленников или крестьян, живших у рек и озёр, где росла ива.

Других версий, например, финской или эстонской, почти нет: в этих языках основа «карк-» не даёт схожей семантики. Немецкое влияние возможно, но маловероятно — в немецких фамилиях конечное «-ш» встречается редко. Так что наиболее правдоподобное объяснение — латышская топографическая или профессиональная модель, характерная для западных окраин Российской империи.