Фамилия Катарский звучит так, будто её носитель родом с Аравийского полуострова, но на деле она исконно русская. Её основа — не название государства Катар, а старинное русское прозвище или мирское имя Катар. В словаре Владимира Даля «катар» означает «сотрясение», «лихорадка» или «озноб», но в ономастике закрепилось другое значение: так в северных и центральных губерниях называли бойкого, задиристого человека, который «катается» — то есть ссорится, затевает драку или шумит. Глагол «кататься» в этом смысле означал «браниться, вздорить», и прозвище Катар получал сварливый или неуживчивый крестьянин.

Фамилия образована по стандартной модели с суффиксом -ск-ий, который в XV–XVII веках был типичен для служилых людей и дворянства. Однако Катарский — не обязательно дворянская фамилия. Суффикс -ский мог присваиваться и крестьянам, жившим в местности с названием Катары или Катарь, но таких топонимов в известных источниках не зафиксировано. Вероятнее, что фамилия — искусственная, семинарская: её могли дать в духовных училищах воспитаннику с прозвищем Катар или по фамилии наставника. В семинарской среде фамилии на -ский были нормой, и их нередко «облагораживали», придавая звучное окончание.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Катаев, Катанов, Катарин — показывает, что основа «катар» встречается редко. Катаевых и Катановых гораздо больше, и они образованы от того же корня, но с более простыми суффиксами -ев и -ов. Катарский же стоит особняком: окончание -ский намекает на более позднее происхождение, возможно, в XVIII–XIX веках, когда фамилии такого типа активно давали выходцам из духовного сословия.

В переписях населения Российской империи фамилия Катарский встречается спорадически, без явной привязки к одному региону. Нет ни одного известного исторического деятеля с этой фамилией, что подтверждает её локальный и малочисленный характер. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был либо потомком священника, получившего «красивое» окончание, либо крестьянином, чьё прозвище закрепилось в документах при переписи. В любом случае, корень у фамилии простой и бытовой — без экзотики, зато с характером.