Фамилия Хагай — редкий случай, когда фамилия почти наверняка не является исконно русской, а её основа не славянская. В русском языке у этой фамилии нет прозрачной внутренней формы: она не выводится из привычных «ремесленных» или «отчественных» суффиксов вроде -ов или -ин. Поэтому первое, что бросается в глаза, — её иноязычное происхождение.

Скорее всего, фамилия Хагай восходит к библейскому имени Аггей (в русской традиции) или Хаггай (в западной). Это имя из Ветхого Завета, которое носил один из двенадцати малых пророков. В переводе с древнееврейского оно означает «праздничный», «рождённый в праздник». В таком случае фамилия Хагай — это русифицированная форма еврейской фамилии, образованной от этого имени. Суффикс -ай в русской среде мог закрепиться при адаптации: так иноязычное имя превратилось в фамилию, звучащую по-русски.

Есть и другая версия, менее вероятная, но возможная. В некоторых тюркских языках слово «хагай» или близкие к нему формы означают «тесть» или «родственник со стороны жены». Если предки носителя фамилии жили в зоне русско-тюркского пограничья (например, в Поволжье или на Кавказе), фамилия могла закрепиться как прозвище по свойству. Однако библейская версия выглядит убедительнее: она подкреплена широкой распространённостью имени Хагай именно в еврейской среде.

Географически фамилия Хагай встречается крайне редко. Её можно встретить в России, на Украине, а также в Израиле, где она существует в оригинальном написании. В русском контексте она не имеет сословной привязки — её могли получить и крестьяне, и мещане, и купцы, если в роду был человек с таким именем или прозвищем. Словообразовательная модель здесь проста: основа (имя) + нулевой суффикс, то есть фамилия просто застыла в форме имени без дополнительных русских окончаний. Это и делает её непохожей на типичные русские фамилии, но при этом вполне органичной для многонациональной истории фамилий в России.