Фамилия Хахай — редкий случай, где основа звучит как междометие или звукоподражание. В русской ономастике такие фамилии обычно отталкивают от прозвищ, данных за манеру смеяться или говорить. «Ха-ха» — это смех, и прозвище Хахай могли дать человеку громкому, веселому или, наоборот, с неприятным, отрывистым смехом. Модель образования здесь простая: основа «хаха-» плюс суффикс -й, характерный для кратких прилагательных и прозвищ (сравните: Бабай, Гуляй, Ломай). То есть Хахай — это «тот, кто хахает», то есть хохочет.

Версия с тюркскими корнями менее вероятна, но не исключена. В тюркских языках есть слово «хахай» или «хаха» в значении «старший брат», «дядя» или почтительное обращение к старшему. Однако для русской фамильной системы такое заимствование в чистом виде — редкость, чаще тюркские основы обрастали русскими суффиксами (Хахаев, Хахалин). Фамилия Хахай без суффикса — это архаичная форма, которая могла сохраниться в северных или сибирских говорах, где прозвища часто переходили в фамилии без изменений.

Географически фамилия Хахай встречается точечно, преимущественно в Сибири и на Дальнем Востоке, что косвенно подтверждает версию о прозвище: в среде старожилов и охотников прозвища, данные по поведению, были устойчивы. В центральных регионах России она почти не фиксируется. Социальный контекст: носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьян или казаков, где прозвище закреплялось за одним родом без переоформления в стандартные -ов или -ин.

Однокоренные фамилии — Хахалин, Хахалев, Хаханов — более распространены и образованы по продуктивной модели. Хахай стоит особняком: он короче, звонче и несет в себе прямую отсылку к звуку. Если ваш предок был Хахай, то, вероятно, он был человеком заметным, с яркой речевой или эмоциональной характеристикой.