Фамилия Хандошка — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Начать стоит с того, что в ней нет типичного русского фамильного суффикса (-ов, -ин, -ский). Окончание -а указывает на то, что перед нами, скорее всего, не застывшая форма родительного падежа, а исходное прозвище или усечённая форма более длинной фамилии.

Самая вероятная версия связывает основу «Хандош-» с украинским или южнорусским диалектным словом «хандожа» или «хандожка». В говорах так могли называть неуклюжего, неловкого человека, а иногда и того, кто ходит вразвалку, «хандой». Другое, более редкое значение — «оборванец» или «бедняк». Если принять эту версию, то предок носителя фамилии получил прозвище по характерной походке или внешнему виду. Модель образования проста: корень прозвища стал фамилией без каких-либо изменений, что характерно для украинской и белорусской ономастики, где фамилии на -а (типа Голота, Шинкаренко) встречаются часто.

Менее убедительна, но возможна связь с тюркским именем Ханды (с ударением на последний слог), что значит «с ханом» или «ханский». Однако в таком случае мы бы ожидали фамилию Хандышев или Хандыков, а форма Хандошка выглядит как русифицированный вариант с уменьшительным суффиксом -к(а). И всё же, для фамилии без суффикса такое происхождение менее типично.

Географически фамилия Хандошка встречается в основном на юге России и в восточных областях Украины — в зоне активного смешения славянских и тюркских языков. Это подтверждает обе версии: и диалектное слово, и возможное заимствование. Сословно, скорее всего, фамилия принадлежала крестьянам или казакам — в дворянских родословных книгах она не отмечена.

Есть ещё одна деталь: фамилия могла возникнуть как пренебрежительное прозвище от глагола «хандырить» (в некоторых говорах — «пьянствовать»). Но это уже совсем гипотетическая версия, и её стоит отбросить из-за отсутствия устойчивой лексической базы. В итоге, наиболее правдоподобное объяснение — прозвище по внешности или походке, закрепившееся в украинской среде.