Фамилия Кивай — редкий случай, где основа, скорее всего, не русская, а украинская или белорусская. В русском языке у неё нет очевидного корня со значением «кивать» или «кивать головой»: глагол «кивать» дал бы форму Киваев или Кивалов, но не Кивай. Здесь мы видим чистую основу без суффикса -ов/-ев, что типично для фамилий украинского и польского происхождения, образованных от прозвищ в форме повелительного наклонения.

Самая вероятная версия: Кивай — это усечённое украинское прозвище Кивай-головою или Кивай-носом, то есть «человек, который кивает». В украинском языке «кивати» — то же, что и в русском, «качать, кивать». Прозвище могли дать тому, кто часто задумчиво кивал в разговоре, соглашался без слов или имел привычку покачивать головой. Такие фамилии на -ай (Кивай, Шуляй, Гуляй) характерны для западных областей Украины и юга Беларуси.

Вторая, менее вероятная версия, — связь с тюркским словом «кива» (арбуз, дыня) или «киван» (гордый). Но для этого нет убедительных параллелей в русской ономастике, и фамилия Кивай не встречается в списках тюркских фамилий Поволжья. Спорная гипотеза, которую ономасты обычно не поддерживают.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По данным открытых источников, носители Кивай живут в основном в Черниговской и Сумской областях Украины, а также в приграничных районах Брянской области России. Это подтверждает западнорусское или украинское происхождение. Фамилия не зафиксирована в дворянских родословных книгах и не относится к старомосковским; её носители — скорее потомки крестьян или казаков из левобережной Украины.

Таким образом, фамилия Кивай — это украинское прозвище, закрепившееся без изменений. Предок вашего рода, вероятно, получил его за манеру кивать или качать головой, и фамилия сохранилась в той форме, в какой её дали, без русских суффиксов.