Фамилия Клёмин образована от имени, а не от ремесла или прозвища. В её основе лежит каноническое имя Климентий, которое пришло на Русь вместе с христианством из Византии. С греческого языка это имя переводят двояко: «милостивый» или «виноградная лоза». Второе значение связано с тем, что Климент был четвёртым римским папой, и его имя символически соотносили с виноградной лозой Христа.

В бытовой речи длинное имя Климентий сокращали. Так появились формы Клим, Клема и Клёма. Именно от последней, с ударным корнем и мягким звуком, и пошла фамилия Клёмин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Клёмин, то есть сын или потомок человека по имени Клёма. Это типичная модель для русских фамилий, образованных от имён и прозвищ, оканчивающихся на -а или -я.

Интересно, что фамилия Клёмин встречается не повсеместно, а тяготеет к определённым регионам. Чаще всего её носителей можно встретить в Вятской и Пермской губерниях, а также в Поволжье. Это наводит на мысль, что фамилия закрепилась на севере и востоке европейской части России, где старообрядческие традиции дольше сохраняли архаичные формы имён.

Встречается и вариант написания через «е» — Клемин. Однако в большинстве случаев ударение падает на корень, и написание с «ё» фиксирует произношение, которое сохранилось в диалектах. Если ваши предки — Клёмины, скорее всего, они происходят из среды крестьян или мещан, поскольку фамилии на -ин у духовенства и дворянства встречались реже.