Фамилия Клестова (и её вариант Клёстова) происходит от прозвища или мирского имени Клест. Самая распространённая версия связывает его с птицей клестом — обитателем хвойных лесов, который питается семенами шишек. До христианства на Руси было принято давать детям имена животных и птиц: считалось, что природа примет ребёнка как своего и передаст ему полезные качества. В этом случае Клест — не прозвище, а именно мирское имя.

Но есть и вторая, ремесленная версия. Глагол «клести» в старых говорах означал «щемить, сжимать, давить». От него произошло слово «клестцы» — ручные жернова. Если предок Клестовых работал на таких жерновах, молол зерно, его могли прозвать Клестом по роду занятий. Эта версия менее очевидна, чем «птичья», но тоже имеет право на существование.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе Клест добавили суффикс принадлежности -ов (в женском роде — -ова). Изначально это было отчество: «чей? — Клестов», то есть сын или дочь Клеста. Со временем приставка «сын/дочь» отпала, и фамилия закрепилась в роду.