Фамилия Клестов (и её вариант с ё — Клёстов) происходит от прозвища или мирского имени Клест (Клёст). Тут возможны два основных объяснения, и они не противоречат, а дополняют друг друга.

Первое и самое прямое — от названия птицы клест. В старину на Руси было принято давать детям имена по названиям животных, птиц или растений. Считалось, что такое имя-оберег сделает ребёнка «своим» для природы и передаст ему качества, присущие этому существу. В случае с клестом — это, скорее всего, выносливость и приспособляемость, ведь клесты живут в хвойных лесах и умудряются выводить птенцов даже зимой, питаясь семенами из шишек. Так что первый носитель фамилии мог получить имя Клёст вовсе не из-за внешнего сходства, а по этой древней традиции.

Второе объяснение — от глагола «клести», что значит «щемить, сжимать, давить, тискать». В этом случае прозвище Клест было профессиональным. Оно могло указывать на человека, который работал на клестцах — так называли ручные жернова. То есть предок Клестовых мог быть мельником или работником, занятым на помоле зерна. Эта версия менее популярна, чем «птичья», но лингвистически вполне обоснована.

По сути, фамилия Клестов — это типичная «отчество»: сын Клеста становился Клестовым. Суффикс -ов указывает на принадлежность, отвечая на вопрос «чей?». Так что Клестов — это буквально «сын (или потомок) человека по имени (или прозвищу) Клест».

Интересно, что в написании фамилии встречаются оба варианта: и Клестов, и Клёстов. В дореволюционной орфографии «ё» часто заменяли на «е» или просто не писали точек, поэтому разница в произношении могла закрепиться в разных ветвях рода. С точки зрения происхождения, оба варианта абсолютно равноправны и ведут к одному корню.