Фамилия Клеваев образована от прозвища Клевай. В его основе лежит глагол «клевать» — в прямом смысле (о птицах) или в переносном, который в разных говорах означал «придираться, бранить, язвить». Человек с таким прозвищем мог быть сварливым, въедливым, любящим «клевать» окружающих мелкими замечаниями. Возможен и бытовой вариант: прозвище могли дать тому, кто работал с клювом — например, птичнику или тому, кто занимался ловлей птиц силками.

Модель фамилии — типичная для северных и центральных русских земель: суффикс -ев присоединялся к основам, оканчивающимся на -ай. В старых документах встречаются формы без фамильного окончания: «Ивашка Клевай, крестьянин» (XVI век) — такие записи показывают, что прозвище бытовало как самостоятельное имя. Позже, при закреплении фамилий, патронимический суффикс -ев дал форму «чей сын?» — Клеваев.

В ономастике фамилия нечастая, но не единичная. Словарь Б. Унбегауна относит её к группе фамилий от глагольных прозвищ. Родственные фамилии — Клевакин, Клевцов, Клевцовский — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами. Клеваев стоит особняком: в нём нет уменьшительного или пренебрежительного оттенка, только прямое указание на действие.

Географически фамилия тяготеет к Владимирской, Костромской и Ярославской областям — регионам, где в XVI–XVII веках активно шло закрепление прозвищ в фамилии. Встречается и в донских казачьих списках, но там, скорее всего, принесена переселенцами с севера. Социальный состав носителей — преимущественно крестьянство и посадские люди, без следов дворянского происхождения.

Написание фамилии устойчивое: Клеваев, через «а» в корне. Вариант с «ё» (Клевaев) — результат орфографической небрежности, не отражающий народного произношения. В современном языке фамилия звучит нейтрально, утратив связь с исходным прозвищем, но для этимолога она — наглядный пример того, как русская фамилия консервирует старую лексику и бытовые характеристики человека.