Фамилия Клиина — редкая и неочевидная. В ней нет суффиксов, привычных для русских фамилий, поэтому первая мысль: это искажённое написание или фамилия нерусского происхождения. Но если разбирать её как русскую, то ключ — в окончании. Форма «Клиина» с ударением, скорее всего, на первый слог (Кл́иина) или на второй (Кли́ина) указывает на притяжательную модель с суффиксом -ин. В русской традиции так образовывали фамилии от женских имён или прозвищ, оканчивающихся на -а: «чей?» — Клиин, то есть сын или потомок Кли́и.

Но кто такая или что такое Кли́я? Самое прямое объяснение — от имени Клия. Это краткая форма от канонического имени Клеопатра (греч. «славная отцом») или реже от мужского Клеоник. В народном быту длинные имена укорачивали: Клеопатра превращалась в Клию, а от неё уже возникала фамилия — «Клиин», а в женском роде — «Клиина». Обратите внимание: фамилия стоит в женской форме, что необычно для словарей, но в реальности встречается, если носительница — женщина. Мужской вариант — Клиин.

Есть и вторая, менее вероятная версия. Фамилия могла возникнуть от прозвища Клий — так в некоторых говорах называли человека, который «клиит», то есть клеит, мастерит (от глагола «клеить»). Но тогда форма должна была бы быть Клеин или Клеев, а не Клиин. Поэтому первая гипотеза — через имя — выглядит правдоподобнее.

В дореволюционных метрических книгах фамилия почти не встречается; она может быть единичной, возникшей в конкретной семье в XIX веке. Географически её следы, если и есть, тяготеют к южнорусским или украинским областям, где охотнее образовывали фамилии от женских имён. Социально — скорее всего, крестьянская или мещанская, без дворянской приставки.

Коротко: предки носительницы фамилии Клиина, вероятно, звались Кли́ями — в честь женщины по имени Клеопатра. Фамилия — редкий памятник народной переработки церковного имени.