Фамилия Климаскин — редкий случай, когда суффикс -ин указывает не на отчество от женского имени, а на происхождение от имени Клим (каноническая форма Климент). В русской ономастике суффикс -ин обычно добавляют к основам на -а/-я (Кузьмин, Ильин). Здесь же основа Климас(к) — это нестандартная, народная форма имени Клим, образованная через суффикс -ас(к). Такие формы (Климас, Климаска) бытовали в северных и центральных говорах как уменьшительные или просторечные варианты.

Если разобрать цепочку: имя Клим → разговорная форма Климаска (в значении «маленький Клим» или «Клим, которого зовут ласково») → отчество «чей сын?» — Климаскин. То есть буквально «сын Климаски». В XIX веке в метрических книгах встречаются записи «Климаскин» как фамилия крестьян и мещан Рязанской, Тамбовской и Пензенской губерний. География указывает на зону, где было популярно имя Клим в бытовых вариантах.

Стоит отметить, что фамилия не имеет никакого отношения к слову «климакс» или географическому климату — это чисто антропонимическая конструкция. В отличие от распространённой Климов, Климаскин сохранила более архаичную словообразовательную модель, которая в XIX веке уже вытеснялась стандартными отчествами на -ов. Поэтому носители фамилии — потомки людей, чьи имена записывали «по-простому», в местной традиции, а не по церковным канонам.

Из-за редкости фамилии (в современной России её носят не более нескольких сотен человек) она почти не попала в общерусские словари. Единственное, что можно сказать уверенно: основа надёжно выводится из имени Клим, а суффикс -ин здесь — не признак «женской» линии, а результат адаптации основы на мягкий согласный.