Фамилия Климешов образована от имени Климеш — краткой, обиходной формы крестильного имени Климентий. В переводе с греческого это имя означает «милостивый» или «виноградная лоза», что указывает на мягкий, снисходительный характер или, по другой версии, на связь с виноделием как символом плодородия. Потомок человека по имени Климеш со временем получил фамилию Климешов.

Словообразовательная модель здесь стандартная для русских фамилий: к основе Климеш- добавили суффикс -ов, который указывает на принадлежность — буквально «сын Климеша». Интересно, что полная форма имени Климентий в народе дала множество производных: Клим, Клима, Климуха, Климоха. Форма Климеш встречается реже, чем, скажем, Клим или Климка, и характерна в основном для северных и центральных областей России, где любили усекать имена до звонкого, певучего варианта.

По сравнению с более массовыми Климовыми или Климентьевыми фамилия Климешов — редкая, локальная. Если Клим и Климовы восходят напрямую к простонародному варианту имени, то Климеш — ступенька глубже, почти забытая. В дореволюционных переписях и метрических книгах носители этой фамилии чаще всего встречались среди крестьян и мещан, реже — среди духовенства. Сословной принадлежности точно не установить без архивных выписок, но модель образования (без суффиксов -ский) указывает на непривилегированные слои.

Ещё одна деталь: в говорах слово «климеш» могло звучать как прозвище — не только от имени, но и по созвучию с диалектным «климать» (шататься, бродить без дела). Однако эта версия слабее: церковное имя Климентий было широко распространено, и народные формы от него покрывают почти все случаи. Поэтому основная и правдоподобная версия — от крестильного имени через краткую форму Климеш.