Фамилия Климешина — женская форма от Климешин, и её разумнее начинать разбирать с мужского варианта. В основе лежит имя Климеш — разговорная, народная форма крестильного имени Климент (от латинского clemens — «милостивый», «снисходительный»). В русской традиции имя Климент давали часто, но в быту оно обрастало уменьшительными вариантами: Клим, Климуха, Климеш. Суффикс -еш- в данном случае не просто ласкательный, а характерный для северных и северо-восточных говоров: Климеш, Фадееш, Ванеш — так звали человека в семье или в узком кругу.

Фамилия образована по самой распространённой модели: к основе Климеш- добавили патронимический суффикс -ин, означающий «чей?» — сын Климеша. В русской ономастике фамилии на -ин (в отличие от -ов) часто давали от имён и прозвищ, оканчивающихся на гласный или мягкий согласный. Климешин — буквально «Климешев сын», а Климешина — «дочь или жена Климешина».

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России. В переписях и метрических книгах XIX века Климешины встречаются в Вологодской, Костромской и Вятской губерниях — как раз в тех краях, где имя Клим было особенно популярно, а суффикс -еш- в именах не редкость. Носители фамилии, скорее всего, были государственными крестьянами или мещанами: дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Важный нюанс: не нужно путать Климешина с Клемешиным или Климшиным. В фамилии Клемешин основа восходит к полной форме Клементий, а Климшин — к краткой Климша (с суффиксом -ш-). Климешин стоит особняком — это именно от народной формы Климеш, что указывает на живую, нецерковную традицию именования в семье предка.