Фамилия Клиникова — женская форма фамилии Клиников, и её происхождение стоит рассматривать в связке с мужским вариантом. Сама основа «Клиник» неочевидна на первый взгляд, и здесь есть как минимум два пути.

Первый и самый простой: фамилия образована от имени или прозвища Клиник. В русской ономастике известны случаи, когда «Клиник» — это сокращённая форма от канонического имени Климент (в народе Клим, Клементий). Суффикс -ик в таком случае выполнял уменьшительно-ласкательную роль: Клиник — «маленький Клим» или «сын Клима». Такая модель типична для фамилий на -ов: Клиников — «чей?» — сын или потомок Клиника. По этой версии, предок носительницы фамилии был человеком, которого в быту звали Клиник.

Второй вариант — профессиональный. В некоторых говорах «клиникой» или «клиником» могли называть не больницу, а нечто другое. Например, в псковских и тверских диалектах «клиника» — это убогий, хилый человек, калека. Тогда прозвище Клиник давали либо слабому здоровьем человеку, либо, по контрасту, тому, кто за такими ухаживал. Эта версия менее распространена, но имеет право на существование, особенно если учесть, что фамилия могла возникнуть в среде, далёкой от книжной медицины.

Что касается суффикса -ов, он указывает на принадлежность: в большинстве случаев такие фамилии носили крестьяне и мещане центральной России. Сословной элитарности здесь нет — это рядовая, «вотчинная» фамилия, которая закрепилась за родом в XVI–XVIII веках. Стоит отметить, что фамилия Клиникова встречается реже, чем, скажем, Климов или Клементьев, что делает её более локальной. В современных справочниках она фиксируется преимущественно в Поволжье и на юге России, что может указывать на миграцию носителей из центральных областей.

Если у вас есть семейные предания, связывающие фамилию с врачебным делом, — это скорее народная этимология, чем историческая правда. Прямой связи с «клиникой» как учреждением нет: слово пришло в русский язык поздно, в XVIII–XIX веках, когда фамилии уже сложились.